電験ノート

円形コイルの磁束密度 — 軸上で最強、外側は双極子

軸上 z = 0 (中心)
— μT
軸上 z = R
— μT
軸上 z = 2R
— μT

ドラッグで回転 / ホイールでズーム / 右ドラッグで平行移動

A

パラメータを動かしてみよう

1 ビオ・サバールの法則と円形コイル

微小電流要素 dl⃗d\vec{l} が距離 rr の点に作る磁場は
dB⃗=μ0 I4π dl⃗×r^r2\displaystyle d\vec{B} = \frac{\mu_0\,I}{4\pi}\,\frac{d\vec{l}\times\hat{r}}{r^2}
これを円形ループ全周にわたって積分すると、軸上 (zz 軸) の磁場は
B(z)=μ0 I R22 (R2+z2)3/2\displaystyle B(z) = \frac{\mu_0\,I\,R^2}{2\,(R^2 + z^2)^{3/2}}
コイル中心 (zz = 0) では
B(0)=μ0 I2R\displaystyle B(0) = \frac{\mu_0\,I}{2R}
ここで μ0=4π×10−7 T⋅m/A\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\ \mathrm{T\cdot m/A} は真空の透磁率。

2 電流を倍にしてみる

電流 II のスライダーを 50A から 100A に動かしてください。

  • ステータスパネルの ∣B⃗∣|\vec{B}| がどの位置でも 2倍(B∝IB \propto I)
  • 3D図の青矢印もすべて2倍長くなる
  • 導線(茶色のリング)も 2≈1.4\sqrt{2} \approx 1.4 倍ほど太くなる(電流密度を一定とする可視化)

3 電流の符号を反転 → 磁場の向き反転

スライダーを +50A から −50A に動かしてください。

  • すべての青矢印が逆向きになる
  • コイル上の電流方向矢印(茶色)も逆方向に流れる
  • 右ねじの法則: 電流が反時計回り(上から見て)→ 磁場は上向き、時計回り → 下向き

4 コイル中心軸を観察 — 磁場が強く・揃って通る

3D図を真横から見るように回転してください(コイルが線として見える視点)。

  • コイル中央(原点)を貫いて強い軸方向の磁場がある
  • 軸上では矢印がすべて同じ向き(上向き or 下向き)、長さが中心で最大
  • ステータスパネル比較: ∣B⃗∣|\vec{B}| at center (z=0z = 0) ≫ ∣B⃗∣|\vec{B}| at z=Rz = R ≫ ∣B⃗∣|\vec{B}| at z=2Rz = 2R (急速に減衰)
  • 軸上 zz = RR の点では中心の 1/(22)≈0.3541/(2\sqrt{2}) \approx 0.354 倍

5 コイル外側を観察 — 双極子(磁石)のパターン

3D図でコイルから少し離れた領域(矢印群の外側)に注目してください。

  • コイルの上下方向(軸方向)は同じ向きの磁場が並ぶ
  • コイルの横方向(コイルから出て側面に回り込む)では矢印が弧を描いて折り返す
  • これは磁気双極子(棒磁石)と同じ磁場パターン: ループ電流 = 一つの磁気モーメント
  • 遠方では ∣B⃗∣∝1/r3|\vec{B}| \propto 1/r^3 で減衰(直線電流の 1/r1/r よりはるかに速い)

6 真上から見る → 軸対称性を確認

3D図をドラッグして真上(コイル軸方向)から見下ろしてください。

  • 4方向の子午面に分布した矢印が軸まわりに対称に並ぶ
  • つまり、磁場は方位角 φ に依存しない(コイル軸まわりの回転対称)
  • これは ビオ・サバール の積分を一周することの直接の帰結

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